Prueba de Hipótesis con Respecto a la Varianza
Los criterios para probar hipótesis
con respecto a las varianzas se basan en los correspondientes métodos para construir
intervalos de confianza.
En una prueba de hipótesis para
la varianza poblacional se emplean el valor hipotético de la varianza
poblacional σ2 o y la varianza muestral S2 para calcular el valor estadístico
de prueba X2. Si la población tiene una distribución normal, el estadístico de
prueba es el siguiente:
En donde n = tamaño de la
muestra. S2 = varianza de la muestra. σ2 = varianza hipotética de la población.
Es un valor de una variable
aleatoria chi-cuadrada con n-1 grados de libertad.
La violación de la suposición de
que el muestreo se lleva a cabo sobre una distribución normal tiene un efecto
sustancial cuando se emplea la estadística chi- cuadrada para inferencias con
respecto a las varianzas.
La estadística de interés es la
varianza muestral S2. La hipótesis nula será rechazada se la realización de S2
calculada a partir de la muestra, es, en forma suficiente, diferente, mayor que
σ2 o menor que σ2, dependiendo de la hipótesis alternativa.
Una vez calculado el estadístico
de prueba X2, para determinar si se acepta o se rechaza la hipótesis nula se
encuentra el valor crítico y se realiza la comparación.
Ejemplo:
Una empresa del giro alimenticio
desea determinar si el lote de una materia prima tiene o no una varianza
poblacional mayor a 15 en su grado de endulzamiento. Se realiza un muestreo de
20 elementos y se obtiene una varianza muestral de 20,98. Realizar la prueba de
hipótesis con α= 0.05.
DATOS:
n = 20
S2 = 20,98
σ2 = 15
α= 0.05
Paso 1: Formular las hipótesis
Ho : σ2 ≤ 15
Ha : σ2 > 15
Paso 2: Calcular el estadístico
de prueba X2 p= (n-1). S2 / σ2
X2 p= (20-1). 20.98 / 15
X2 p= 398,62 / 15
X2 p= 26,57
Paso 3: Obtenemos el valor
critico X2 utilizando la tabla de valores de esta distribución:
Grados de libertad = n-1= 20 – 1
= 19 (fila de tabla).
Probabilidad: nivel de
significancia α = 0.05 (columnas de tabla).
Buscando estos valores en la
tabla tenemos que X2 = 30.14
Tabla de la Distribución Chi- Cuadrado
Por lo tanto para esta prueba, tenemos que:
26,57 < 30.14 se acepta Ho.
Paso 4: Se concluye que no hay evidencia estadística para rechazar Ho.
MARIN ORHEIDY
Si se extrae una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con media µ y varianza σ2, y se calcula la varianza muestral, se obtiene el valor del estadístico s2 que se utilizará para conocer la σ2, mediante una variable aleatoria chi cuadrada con “n-1” grados de libertad.
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